SUSPICIENDO DESPICIO

PERCORSO DIDATTICO

ideato e curato

ROBERTA CARMINATI E GRAZIANO GHENO

docenti di matematica

presso il liceo Scientifico “J. da Ponte”

di Bassano del Grappa (Vi)

Argomenti di questa unità:

Relazioni

Funzioni

Successioni

A. R E L A Z I O N I

Def.: dati due insiemi non vuoti A e ( con A detto “primo insieme” e B “secondo insieme” )

una relazione ‘r’ di A in B ( in forma simbolica)

’r’ : A ® B

a ® b ovvero a ’r’ b con aÎA Ù bÎB

è un legame di natura qualsiasi mediante il quale ad elementi del primo insieme A si associano elementi del secondo insieme B.

Si dice che l’elemento:

aÎA ha come immagine l’elemento bÎB

aÎA è la controimmagine dell’elemento bÎB

bÎB è immagine dell’elemento aÎA

Una relazione è normalmente espressa da un predicato aperto p( x,y ) in due variabili

con xÎ al primo insieme Ù yÎ al secondo insieme. (Noi useremo questa notazione)

prodotto cartesiano e relazioni

Una relazione ‘r’ di A in B individua un particolare sottoinsieme di A x B.

(Ricordiamo la definizione di prodotto cartesiano tra due insiemi A e B :

A x B = {(a , b) / (a , b) è coppia ordinata con a Î A Ù b Î B}

Viceversa,

quel particolare sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B individua la

relazione data.

Esiste perciò biunivocità tra relazione e sottoinsieme del prodotto cartesiano A x B.

Pertanto due relazioni sono da ritenersi uguali nel momento in cui individuano lo stesso sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB

Nota.

Di una relazione sono importanti ‘i legami’ ( ossia le coppie ordinate ) che questa

mette in evidenza. non tanto gli insiemi sui quali lavora

modalità di rappresentare una relazione.

Una relazione p( x,y ) può essere rappresentata:

mediante un grafo,

in un sistema di assi ortogonali,

per elencazione.

ESEMPIO1a

Siano

A = { le note musicali } ,

B = { province della Veneto},

p( x,y ): la nota x inizia con la stessa lettera della provincia y.

Le tre modalità per rappresentare tale relazione sono:

mediante un grafo

re Belluno

mi Rovigo

fa Treviso

sol Padova

la Vicenza

si Verona

do Venezia

in un sistema di assi ortogonali

( si rappresentano gli elementi del primo insieme come punti dell’asse orizzontale e

quelli del secondo insieme come punti di quello verticale)

Belluno

Rovigo

Treviso

Padova

Vicenza

Verona

Venezia

do re mi fa sol la si

per elencazione

( re , Rovigo )

ESEMPIO2a

Siano

A = { lettere parola Roma } , B = { colori primari },

p( x,y ): la lettera x compare nella parola y.

Le tre modalità per rappresentare tale relazione sono:

mediante un grafo

r azzurro

o giallo

m rosso

in un sistema di assi ortogonali

azzurro

giallo

rosso

r o m a

per elencazione

( r , azzurro ) ; ( r , rosso ) ; ( o , azzurro ) ; ( o ,giallo ) ;

( o , rosso ) ; ( a , azzurro ) ; ( a , giallo ) .

Nota.

Dalla definizione e dagli esempi sopra riportati, in riferimento al ‘ numero di legami’

esistenti tra gli elementi di A e gli elementi di B, emerge quanto segue:

relativamente al primo insieme A:

nessuna

ci possono essere elementi di A che hanno una immagine in B

più di una

relativamente al secondo insieme B:

nessun

ci possono essere elementi di B che sono immagine di un elemento di A

più di un

relazioni inverse

La relazione ’ r’ : A ® B

a ® b ovvero a ’r’ b con aÎA Ù bÎB

individua ben definite coppie ordinate del prodotto cartesiano A x B.

Def:

La relazione inversa della ’ r’ è la relazione

’ r ^-1’ : B ® A

b ® a ovvero b ’r ^-1’ a con bÎB Ù aÎA

tale che

le coppie ordinate individuate da ’ r ^-1’

1. costituiscono un sottoinsieme del prodotto cartesiano B x A e

2. si determinano scambiando l’ordine delle corrispondenti coppie

individuate dalla relazione ’ r’.

ESEMPIO3a

Data la relazione già vista nell’esempio2a, la corrispondente relazione inversa

è così definita:

siano

A = { colori primari }, B = { lettere parola Roma },

’ r ^-1’ = p^-1( x,y ): la parola x contiene la lettera y.

Le tre modalità per rappresentare la relazione sono:

mediante un grafo

azzurro r

giallo o

rosso m

in un sistema di assi ortogonali

azzurro giallo rosso

per elencazione

( azzurro , a) ; ( azzurro , r ) ; ( azzurro ,o ) ; ( giallo , a ).

( giallo , o ) ; ( rosso , o ) ( rosso , r ) .

a1. Relazioni di equivalenza .

Particolare interesse rivestono le relazioni ‘r’ nel caso in cui i due insiemi coincidono.

’ r’ : A ® A

a ® b ovvero a ’r’ b con aÎA Ù bÎA

proprietà delle relazioni

In questo caso particolare si considerano le proprietà:

riflessiva: ‘r’ gode della proprietà riflessiva se

"a ÎA Þ a ‘r’ a è vera.

simmetrica: ‘r’ gode della proprietà simmetrica se

nel momento in cui a ‘r’ b è vera Þ b ’r’ a è vera

antisimmetrica: 'r' gode della proprietà antisimmetrica se

nel momento in cui a 'r' b è vera Ù b 'r' a è vera Þ a = b.

transitiva: ‘r’ gode della proprietà transitiva se

nel momento in cui a ’r’ b è vera Ù b ’r’ c è vera Þ a ’r’ c è vera.

Def.:

Si dice relazione di equivalenza una relazione che gode contemporaneamente

delle proprietà:

riflessiva

simmetrica

transitiva

Nota.

In una rappresentazione mediante un sistema di assi ortogonali le tre proprietà

evidenziano particolari caratteristiche grafico-geometriche.

La relazione gode della proprietà:

riflessiva se …..

simmetrica se …..

transitiva se …..

ESEMPIO4a

Sia A = { alunni del Liceo }, p( x,y ): x appartiene alla stessa classe di y.

Sono verificate le tre proprietà riflessiva-simmetrica-transitiva

e quindi è una relazione di equivalenza.

ESEMPIO5a

Sia A = { rette di un piano }, p( x,y ): x è parallela a y.

Sono verificate le tre proprietà riflessiva-simmetrica-transitiva

e quindi è una relazione di equivalenza.

ESEMPIO6a

Sia A = { numeri naturali}, p( x,y ): x è multiplo di y.

In questo caso non è verificata la proprietà simmetrica

e quindi non è una relazione di equivalenza.

E’ verificata invece la proprietà antisimmetrica.

ESEMPIO7a

Sia A = { alunni di questa classe }, p( x,y ): x è in banco con y.

Sono verificate le tre proprietà riflessiva-simmetrica-transitiva

e quindi è una relazione di equivalenza.

ESEMPIO8a

Sia A = { rette di un piano } p( x,y ): x è perpendicolare a y.

In questo caso non è verificata la proprietà riflessiva

e quindi non è una relazione di equivalenza.

Esercizio3a

Di quali proprietà godono le relazioni definite dai seguenti predicati aperti?

p( x,y ): x è doppio di y definita in N

p( x,y ): x divide y definita in N

p( x,y ): x + y = 10 definita in N

p( x,y ): x ha un punto in comune con y definita tra le rette di un piano.

p( x,y ): x è padre di y definita nell’insieme delle persone

p( x,y ): x è fratello di y definita nell’insieme delle persone

p( x,y ): x è minore di y definita in N

p( x,y ): x è non minore di y definita in N

p( x,y ): x mod y = 3 definita in N

p( x,y ): x divide y definita in N

p( x,y ): x + y = numero pari definita in N

p( x,y ): x è complanare con y definita tra le rette dello spazio

p( x,y ): x è amico di y definita nell’insieme delle persone

p( x,y ): x ha stessa nazionalità di y definita nell’insieme delle persone

p( x,y ): x e y sono primi tra di loro definita in N

p( x,y ): x * y > 0 definita in Z

p( x,y ): x * y > 0 definita in Z - { 0 }

Esercizio4a

Sia dato l’insieme A = { 1,2,3,4 }

e le tre relazioni

p1( x,y ): x < y

p2 ( x,y ): x ≤ y

p3( x,y ): x = y

Si scrivano le coppie individuate da ognuna delle tre relazioni e si dica se queste

sono di equivalenza.

Esercizio5a

Sia dato l’insieme A = { 1,2,3,4 }

e le quattro relazioni

p1( x,y ) = { (1,2); (3,4) }

p2 ( x,y ) = { (1,1); (3,3) ; (2,2) ; (4,4) } .

p3 ( x,y ) = { (1,2); (2,3) ; (3,4) ; (4,1) }

p4 ( x,y ) = { (1,2); (1,3) ; (1,4) }

Si esplicitino i predicati aperti che rappresentano ognuna delle quattro relazioni

e si dica se queste sono di equivalenza.

Esercizio6a

Sia dato l’insieme A = { lettere della parola ‘sommo’ }

e le cinque relazioni:

p1( x,y ) = { (s,s); (m,m); }

p2( x,y ) = {(s,s); (m,m); (m,o); (o,m)}

p3( x,y ) = {(s,s); (m,m); (o,o) }

p4( x,y ) = {(s,s); (s,m); (s,o)}

p5( x,y ) = {(s,m); (m,s); (m,o); (o,m); (s,o ); ( o,s)}

Si rappresenti ognuna delle cinque relazioni mediante grafi e si dica se queste

sono di equivalenza.

classi di equivalenza

Le relazioni di equivalenza rivestono, non solo in matematica, un ruolo

importantissimo in quanto permettono di suddividere un insieme dato A in

classi di equivalenza,

ossia in sottoinsiemi che godono delle seguenti tre proprietà:

v sono non vuoti,

v sono a due a due tutti disgiunti,

v la loro unione riproduce l’insieme di partenza.

Ad ogni sottoinsieme appartengono elementi di A tutti in relazione fra loro.

L’insieme dato sarà rappresentato graficamente nel seguente modo:

da cui risulta che le classi di equivalenza costituiscono una partizione dell’insieme dato.

Teorema:

ogni relazione di equivalenza su un insieme A induce una partizione di A;

viceversa

ogni partizione di A dà luogo a una relazione di equivalenza in A.

Dim:

La prima parte del teorema è vera per come sono definiti e le classi di

equivalenza di una relazione e la partizione di un insieme.

Reciprocamente

data una partizione di un insieme, la relazione di equivalenza

ad essa associata sarà tale per cui solo ed esclusivamente per gli elementi

appartenenti ad un dato sottoinsieme sono soddisfatte contemporaneamente

le proprietà riflessiva-simmetrica-transitiva.

insieme quoziente

Def.:

Sia dato un insieme A non vuoto , ed ‘r’ una relazione di equivalenza di A in A .

L’ insieme quoziente A / ’r’

è l’insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza individuate da ‘r’.

ESEMPIO9a

Sia A = { x / x è alunno del Liceo ‘J. Da Ponte’}

p( x,y ): x ha la stessa residenza di y.

Si verifica che la relazione:

è di equivalenza in quanto gode delle tre proprietà

suddivide l’insieme dato in classi di equivalenza.

Una qualsiasi classe è costituita da tutti gli alunni che provengono da uno

stesso comune.

permette di costruire una partizione dell’insieme dato.

Tutti gli alunni vengono divisi per comuni di residenza e si avrà che, preso

un alunno qualsiasi, questo si troverà inserito in una e una sola classe

di equivalenza.

permette di determinare l’insieme quoziente.

Se indichiamo ogni classe di equivalenza con il nome del comune

che rappresenta, allora l’insieme di tutti questi comuni costituisce

l’insieme quoziente.

Graficamente

Insieme di partenza classi di equivalenza insieme quoziente

relazioni d’ordine

Def.:

Sia sempre

’ r’ : A ® A

a ® b ovvero a ’r’ b con aÎA L bÎA

’ r’ è una relazione d’ordine se gode delle proprietà:

antisimmetrica

transitiva

relazione d’ordine totale

Def.:

Sia sempre

’ r’ : A ® A

a ® b ovvero a ’r’ b con aÎA L bÎA

’ r’ è una relazione d’ordine se gode delle proprietà:

antisimmetrica per ogni coppia di elementi

dell’insieme(ovvero tutti gli elementi

dell’insieme sono tra loro confrontabili )

transitiva

Nota.

Sia nella relazione d’ordine come nella relazione d’ordine totale non è richiesta

la proprietà riflessiva.

ESEMPIO10a:

nell’insieme delle persone di una determinata popolazione si

consideri la relazione p( a,b ): a è discendente di b.

Tale relazione gode delle proprietà antisimmetrica e transitiva.

E’ pertanto una relazione d’ordine o più semplicemente un ordinamento.

Una delle rappresentazione più ‘gettonate’ per un insieme semplicemente

ordinato è la rappresentazione tramite un diagramma ad ‘albero’.

Nel grafo sottostante è rappresentato l’albero genealogico di una famiglia.

padre

figli

nipoti

pronipoti

ESEMPIO11a

Nell’insieme dei numeri naturali si consideri la relazione

p( a,b ): a ³ b.

Tale relazione gode delle proprietà riflessiva, antisimmetrica per ogni

coppia di numeri naturali, transitiva.

E’ pertanto una relazione d’ordine totale o un ordinamento totale.

Nota.

Un insieme totalmente ordinato viene rappresentato su di una retta orientata

ESEMPIO12a

Nell’insieme delle parole della lingua italiana la relazione

p( a,b ): a precede b (in ordine alfabetico).

Tale relazione gode della proprietà antisimmetrica per ogni coppia di parole

e della proprietà transitiva.

E’ pertanto un insieme totalmente ordinato.

Esercizi riepilogativi

1. Dato l’insieme A = { a, b, c, d }se ne determini l’insieme delle parti.

In tale insieme si consideri la relazione ‘ essere incluso ’.

Si dimostri che è una relazione d’ordine non totale e se ne disegni il grafo.

2. Dato l’insieme A = { 000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111 }

in tale insieme si consideri la relazione

p( x,y ): x coincide con y

oppure

si passa da x a y cambiando qualche zero con uno.

Disegnare il grafo della relazione e dire di che tipo di relazione si tratta.

3. Analizza le proprietà della relazione ½x ½ < = ½y ½ definita in Z.

Dire di che tipo di relazione si tratta.

4. Analizza le proprietà della relazione ‘ x e y elevati alla potenza quinta danno

numeri dello stesso segno ’ definita in Z.

Dire di che tipo di relazione si tratta.

5. Sia A l’insieme dei possibili punteggi nel lancio di un dado.

Si consideri l’insieme AxA.

In questo nuovo insieme si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û a+b = c+d.

Dire di che tipo di relazione si tratta.

6. Dato l’insieme A = { a, b, c, d } se ne determini l’insieme delle parti P(A).

In esso si definisca:

n una relazione d’ordine tale che F preceda tutti gli altri elementi,

n una relazione di equivalenza il cui l’insieme quoziente abbia esattamente tre elementi

7. Nell’insieme NxN si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û mcm( a,b ) = mcm( c,d ).

Studiarne le proprietà.

8. Nell’insieme NxN si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û MCD( a,b ) = MCD( c,d ).

Studiarne le proprietà.

9. Nell’insieme NxN si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û min( a,b ) = min( c,d ).

Studiarne le proprietà.

10. Nell’insieme NxN si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û ½a - b ½ =½ c - d ½.

Studiarne le proprietà.

11. Nell’insieme NxN si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û ½a * b ½ =½ c * d ½.

Studiarne le proprietà.

12. Nell’insieme NxN₀ si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û (a : b ) =( c : d ).

Studiarne le proprietà.

13. Nell’insieme QxQ₀ si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û ½a : b ½ =½ c : d ½.

Studiarne le proprietà.

14. Nell’insieme R si consideri p( x,y ): y = x / ½x ½.

Studiarne le proprietà.

15. Nell’insieme ZxZ si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û ½a - b ½ =½ c - d ½.

Studiarne le proprietà.

16. Nell’insieme ZxZ₀ si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û (a : b ) =( c : d ).

Studiarne le proprietà.

17. Nell’insieme QxQ₀ si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û ½a : b ½ =½ c : d ½.

Studiarne le proprietà.

18. Nell’insieme R si consideri p( x,y ): y = x / ½x ½.

Studiarne le proprietà.

19. Nell’insieme RxR₀ si consideri la relazione

( a,b ) ‘r’ ( c,d ) Û ½a / b ½ =½ c / d ½.

Studiarne le proprietà.

B. F U N Z I O N I.

Def.:

Una relazione di A in B si chiama funzione se

per ogni xÎA esiste uno e uno solo y Î B

che è immagine dell’elemento x di partenza.

In modo formale :

f: A ® B

x ®f(x)=y se " x Î A $! ( esiste unico ) un yÎ B / f(x) = y.

Nota.

Dalla definizione di funzione consegue che, relativamente al tipo di

‘ legami ‘ esistenti tra gli elementi dell’insieme A e quelli dell’insieme B,

solo un tipo di relazione è funzione :

quella per cui ogni elemento del primo insieme

(nessuno escluso) ha una e una sola immagine!

Quindi non sono ammessi nel primo insieme:

- né elementi che non abbiano immagine

- né elementi che abbiano più di una immagine.

Nessuna condizione viene posta per quanto riguarda il secondo insieme.

In particolare quindi nel secondo insieme ci possono essere:

- elementi che non sono immagine

- elementi che sono immagine di un solo elemento

- elementi che sono immagine di più di un elemento.

Nessuna osservazione viene fatta sui due insiemi A e B che possono essere sia

diversi sia uguali.

terminologia corrente

A: ( primo insieme ) insieme di definizione o insieme di esistenza,

B: ( secondo insieme ) codominio,

f(A): insieme immagine costituito da tutti gli elementi di B che sono

elementi immagine, f(A) Í B,

x: variabile indipendente,

y = f(x): variabile dipendente o elemento immagine.

modalità di rappresentare una funzione

Pure per le funzione si usano le rappresentazioni:

per elencazione ( poco usata),

in un sistema di assi ortogonali

mediante un grafo.

Nota.

In una rappresentazione di funzione

mediante un grafo da ogni elemento del primo

insieme parte una e una sola freccia;

in un sistema di assi ortogonali su ogni linea verticale

c’è sempre uno e un solo nodo.

Come si vede relativamente al primo insieme due sono le condizioni che fanno sì

che una relazione sia funzione:

- per ogni…

- uno e un solo…

restrizione….

Abbiamo visto che:

una funzione è una relazione ’r’,

la relazione ‘r’ individua un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB .

questo sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB individua la relazione ‘r’ .

Questo comporta che data una relazione

’r’ : A ® B

a ® b

se dall’insieme A ‘si eliminano‘ elementi che non

hanno immagine la relazione resta inalterata.

ESEMPIO1b.

Le tre relazioni rappresentate mediante grafo

1 a 1 a a

2 b b b

3 c 3 c c

4 d 4 d 4 d

5 e 5 e 5 e

sono identiche in quanto mettono in evidenza le stesse coppie ordinate.

Di queste però solo la terza relazione è funzione.

In particolare la terza si può ottenere dalle prime due eliminando dal primo insieme tutti quegli elementi che non hanno immagine.

In definitiva se una relazione

’r’ : A ® B

a ® b

è tale per cui

alcuni elementi di A hanno una e una sola immagine in B

mentre

tutti gli altri elementi di A non hanno immagine in B

allora è possibile

ottenere una funzione mediante una restrizione dell’insieme A,

eliminando cioè dall’insieme A tutti quegli elementi che non hanno immagine in B.

Esercizio3b

Tra tutte le relazioni precedentemente studiate che non sono funzioni vedere

quali possono essere rese funzioni mediante una opportuna restrizione

e le si rappresenti:

in un sistema di assi ortogonali,

mediante un grafo

ESEMPIO2b

Considerati gli insiemi :

A = { punti della circonferenza g }

B = { punti della retta r}

p( a,b ): b è la proiezione ortogonale di a sulla retta r.

g r

Tale relazione è funzione in quanto

ogni punto di g ha una e una sola proiezione.

ESEMPIO3b

Considerati gli insiemi

A = { punti della quadrato g } ( contorno )

B = { punti del piano p }

p( a,b ): ad ogni punto di g si associa il centro di g.

Tale relazione è funzione.

ESEMPIO4b

Considerati gli insiemi :

A = { punti della retta r1 }

B = { punti della retta r2 }

p( a,b ): b è la proiezione ortogonale dei

punti di r1 su r2.

r1 r2

Tale relazione è funzione.

ESEMPIO5b

Considerati gli insiemi :

A = { punti del pentagono } ( contorno )

B = { punti del contorno della figura a destra. }

p( a,b ): ad un punto del pentagono si associa un

punto dell’altra figura

Tale legame non è funzione in quanto non è chiaro in che modo a un determinato

punto del pentagono resti associato un punto della figura a destra.

ESEMPIO6b

Considerati gli insiemi :

A = { punti del piano }

B = { punti dedi una retta r dello stesso piano }

p( a,b ): ad un punto del piano si associa la sua

proiezione su r.

Q’

P’ Q

Tale relazione è funzione

classificazione di funzione …

Abbiamo visto che nella definizione di funzione ‘resta bloccata’ la situazione relativa al primo insieme mentre ‘è libera’ la situazione relativa al secondo insieme.

Nel senso che:

nel primo insieme ogni elemento ha un unico elemento immagine,

nel secondo insieme un elemento può:

non essere immagine

essere immagine di un solo elemento del primo

insieme

essere immagine di più di un elemento del primo

insieme.

La classificazione che ora proponiamo si basa appunto su quanto avviene nel secondo insieme.

In modo formale si dice che una funzione f: A ® B

x ®f(x)=y è:

suriettiva: se " y Î B $ almeno un x Î A / f(x) = y

oppure

se f(A)=B

iniettiva: se " x₁, x₂ Î A con x₁ ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂).

biiettiva: se è contemporaneamente sia suriettiva sia iniettiva

In modo non formale una funzione f: A ® B è

suriettiva: se ogni elemento di B è elemento immagine

oppure

se l’insieme B coincide con l’insieme immagine,

iniettiva: se ogni elemento di B è elemento immagine di

al massimo un elemento dell’insieme A

biiettiva: se ogni elemento di B è elemento immagine di

uno e un solo elemento dell’insieme A.

…e sua rappresentazione .

mediante un grafo

Suriettiva

Da ogni elemento del primo insieme parte una e una sola freccia,

Su ogni elemento del secondo insieme arriva almeno una freccia.

Iniettiva

Da ogni elemento del primo insieme parte una e una sola freccia

Su ogni elemento del secondo insieme arriva al massimo una freccia.

Biiettiva

Da ogni elemento del primo insieme parte una e una sola freccia

Su ogni elemento del secondo insieme arriva una e una sola freccia.

in un sistema di assi ortogonali

Suriettiva

Su ogni filo in verticale c’è uno e un solo nodo

Su ogni filo in orizzontale c’è almeno un nodo.

Iniettiva

Su ogni filo in verticale c’è uno e un solo nodo,

Su ogni filo in orizzontale c’è al massimo un nodo.

Biiettiva

Su ogni filo in verticale c’è uno e un solo nodo,

Su ogni filo in orizzontale c’è uno e un solo nodo.

Esercizio4b

Si applichi questa classificazione alle rappresentazione grafica delle funzioni

relative agli esercizi2b – esercizi3b.

Esercizio5b

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false

a) una funzione f : A ® B

x ® y y = f( x ) è iniettiva se:

- associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B V F

- ogni elemento di A ha almeno una immagine in B V F

- elementi distinti di A hanno immagini distinte in B V F

- ogni elemento di B è elemento immagine V F

- ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A V F

- ogni elemento di B è immagine di al massimo un elemento di A V F

b) una funzione f : A ® B

x ® y y = f( x ) è suriettiva se:

-ogni elemento di B è associato a un solo elemento di A V F

- ogni elemento di A ha solo una immagine in B V F

- elementi distinti di A hanno immagini uguali in B V F

- ogni elemento di B è elemento immagine V F

- ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A V F

- ogni elemento di B è immagine di non più di un elemento di A V F

- l’ insieme immagine coincide con B V F

- elementi distinti di B sono immagini delle stesso elemento di A V F

- elementi distinti di A hanno immagini distinte in B e viceversa V F

c) quali delle precedenti domande è vera per una funzioni biiettiva?

Esercizio6b

Considerati gli insiemi :

A = { 1,2,3,4 } e B = {a,b,c,d }

Si determini una funzione y = f( x ) che sia:

- iniettiva ma non suriettiva

- iniettiva e suriettiva

- nè iniettiva nè suriettiva

- suriettiva ma non biiettiva

Esercizio7b

Detto P l’insieme delle partite di calcio di un torneo di 18 squadre.

Spiega perché la funzione f: P ® NxN che associa ad ogni partita

il suo punteggio non è né iniettiva né suriettiva.

Esercizio8b

Verifica che la funzione y = f( x ) di Q in Q con f( x ) = 3-x è biiettiva.

funzioni inverse

Sappiamo che una funzione è una relazione e che di una relazione resta sempre definita la corrispondente relazione inversa.

Abbiamo anche visto il modo per costruirla.

Ma la relazione inversa è sempre una funzione?

Nota.

La relazione inversa sarà funzione se il nuovo insieme di definizione soddisfa le solite

due condizioni:

- per ogni…

- uno e un solo…

Dopo quanto detto relativamente alla classificazione di funzioni, siamo in grado di stabilire le condizioni sotto le quali una funzione è invertibile:

Teorema:

una funzione è invertibile se e solo se è biiettiva.

Dim.

se:

f: A ® B è biiettiva

allora ogni elemento del secondo insieme è immagine di uno e un

solo elemento del primo insieme e pertanto la relazione inversa

è tale per cui ogni elemento del primo insieme ha una e una sola

immagine e quindi è pure funzione.

Viceversa

se:

f: A ® B è funzione invertibile

allora tutti gli elementi del secondo insieme sono

immagine di uno e un solo elemento del primo

insieme e pertanto la funzione è biiettiva.

Esercizio9b

Tra le funzioni biiettive precedentemente considerate si determinino le

funzioni inverse.

Esercizio10b

Dimostra che una funzione solo iniettiva o solo suriettiva non è invertibile.

Nota.

Per quanto detto relativamente alla restrizione di un insieme anche una funzione

solo iniettiva può essere resa biiettiva e quindi invertibile.

Infatti sia

f: A ® B una funzione solo iniettiva.

Ciò vuol dire che nel secondo insieme B ci sono elementi che

non sono elementi immagine.

Sappiamo pure che una funzione f resta inalterata se dal

secondo insieme ’si eliminano ’ gli elementi che non sono

immagine.

Così facendo la funzione è ora biiettiva e quindi invertibile.

Esercizio11b

Si rendano biiettive tutte le funzioni solo iniettive precedentemente

considerate mediante adeguate restrizioni del secondo insieme e se ne

determinino le funzioni inverse.

Esercizio12b

Dire se ognuna delle seguenti funzioni è iniettiva – suriettiva- biiettiva.

a) f: N ® N che fa corrispondere ad ogni naturale il numero delle sue

centinaia.

b) f: ZxZ ® Z che fa corrispondere ad ogni coppia ordinata di interi

il primo elemento della coppia.

c) f: N ® N che fa corrispondere ad ogni naturale pari la sua metà

e ad ogni naturale dispari la metà del suo successivo.

Esercizio13b

Delle seguenti relazioni dire se sono funzioni e in caso affermativo se ne determini insieme di definizione e insieme immagine e classificazione.

a) ad ogni numero reale compreso tra zero e uno si associ la sua prima

cifra decimale diversa da zero.

b) ad ogni frazione si associ quella ridotta ai minimi termini.

c) ad ogni frazione si fa corrispondere la sua inversa rispetto alla moltiplicazione.

d) ad ogni numero naturale scritto in base due si associa in corrispondente scritto in base tre.

b1. Funzioni numeriche.

Def:

Una funzione f: A ® B

si dice numerica se sia il primo insieme A che il

secondo insieme B sono insiemi numerici, ovvero

sottoinsiemi dei numeri reali

Per quanto concerne la rappresentazione grafica le funzioni numeriche normalmente si rappresentano in un sistema di assi cartesiani ortogonali.

Nota

Retta orientata.

Presa una retta su di un piano per orientarla si deve:

fissare su di essa un punto O chiamato punto origine,

fissare un verso di percorrenza detto positivo

( l’altro di conseguenza sarà indicato come verso negativo),

fissare un’unità di misura.

Su di una retta orientata è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra

punti della retta e numeri reali.

Nota.

Sistema di assi cartesiani su di un piano:

Per inserire un sistema di assi cartesiani su di un piano si deve:

prendere sul piano una retta orientata con O suo punto origine,

prendere una seconda retta secante la prima nel punto O, orientarla in

modo che il suo punto origine coincida con O, il suo verso sia tale,

che ruotando la prima retta in senso antiorario fino a farla sovrapporre

alla seconda, i due versi positivi concordano; l’unità di misura in questa

seconda retta può essere qualsiasi.

Dei due assi quello in cui si riportano gli elementi del primo insieme si chiama

asse delle ascisse, l’altro asse delle ordinate.

Su di un piano in cui è stato introdotto un sistema di assi cartesiani è possibile

stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie ordinate di

numeri reali.

Se i due assi sono ortogonali si parla di sistema di assi cartesiani ortogonali

funzioni crescenti - funzioni decrescenti

Funzione strettamente crescente

Def:

Sia f: A ® B

x ® y una funzione numerica.

Si dice che la funzione f è strettamente crescente in A se

" x₁, x₂ Î A con x₁ < x₂ Þ f(x₁) < f(x₂).

Nota.

Una funzione in un insieme è strettamente crescente se, attribuendo alla variabile

indipendente valori ‘via via’ crescenti, pure la variabile dipendente assume valori

‘via via’ crescenti.

In una rappresentazione cartesiana una funzione in un insieme è strettamente

crescente se ‘ scorrendo ‘ lungo le ascisse crescenti con la variabile indipendente,

allora si ‘ scorre ‘ lungo le ordinate crescenti con la variabile dipendente.

Funzione crescente in senso lato o crescente

Def:

Sia f: A ® B

x ® y una funzione numerica.

Si dice che la funzione f è crescente in senso lato

crescente in A se:

" x₁, x₂ Î A con x₁ < x₂ Þ f(x₁) £ f(x₂).

Nota.

Una funzione in un insieme è crescente in senso lato se, attribuendo alla

variabile indipendente valori ‘via via ’ crescenti, la variabile dipendente assume

valori ‘via via ’ che non sono mai minori dei precedenti.

In una rappresentazione cartesiana una funzione in un insieme è crescente in

senso lato se ‘ scorrendo ‘ lungo le ascisse crescenti con la variabile indipendente,

non si ‘ scorre ‘ mai lungo le ordinate decrescenti con la variabile dipendente.

Funzione strettamente decrescente

Def:

Sia f: A ® B

x ® y una funzione numerica.

Si dice che la funzione f è strettamente decrescente in A se:

" x₁, x₂ Î A con x₁ < x₂ Þ f(x₁) > f(x₂).

Nota.

Una funzione in un insieme è strettamente decrescente se, attribuendo alla

variabile indipendente valori ‘via via’ crescenti, allora la variabile dipendente

assume valori ‘ via via’ minori dei precedenti.

In una rappresentazione cartesiana una funzione in un insieme è strettamente

decrescente se ‘ scorrendo ‘ lungo le ascisse crescenti con la variabile

indipendente,allora si ‘ scorre ‘ lungo le ordinate decrescenti con la variabile

dipendente.

Funzione decrescente in senso lato o decrescente

Def:

Sia f: A ® B

x ® y una funzione numerica.

Si dice che la funzione f è decrescente in senso lato

decrescente in A se:

" x₁, x₂ Î A con x₁ < x₂ Þ f(x₁) ³ f(x₂).

Nota.

Una funzione in un insieme è decrescente in senso lato se, attribuendo alla

variabile indipendente valori ‘via via ’ crescenti, la variabile dipendente assume

valori ‘via via ’ che non sono mai maggiori dei precedenti.

In una rappresentazione cartesiana una funzione in un insieme è decrescente in

senso lato se ‘ scorrendo ‘ lungo le ascisse crescenti con la variabile indipendente,

non si ‘ scorre ‘ mai lungo le ordinate crescenti con la variabile dipendente

Nota.

Nelle quattro definizioni sopra enunciate si fa riferimento all’insieme A, che nel

nostro caso è l’insieme di definizione.

Le definizioni continuano a valere in un intervallo qualsiasi, sottoinsieme di A.

funzione positiva - negativa

Funzione positiva

Def:

Sia f: A ® B

x ® y una funzione numerica.

Si dice che la funzione f è positiva in A se:

" x Î A Þ f(x) > 0.

Nota.

Una funzione in un insieme è positiva se:

per qualsiasi valore della variabile indipendente il valore corrispondente della

variabile dipendente è sempre positivo.

in una rappresentazione cartesiana il grafico è sempre sopra l’asse delle ascisse.

Funzione non positiva

Def:

Sia f: A ® B

x ® y una funzione numerica.

Si dice che la funzione f è non positiva in A se:

" x Î A Þ f(x) £ 0.

Nota.

Una funzione in un insieme è non positiva se:

per qualsiasi valore della variabile indipendente il valore corrispondente

della variabile dipendente è sempre minore o uguale a zero.

in una rappresentazione cartesiana il grafico non è mai sopra l’asse delle

ascisse .

A questo punto non presenteranno difficoltà le definizioni di:

funzione negativa,

funzione non negativa… la cui dimostrazione si propone come esercizio.

Nota.

Nelle quattro definizioni sopra enunciate si fa riferimento all’insieme A, che nel

nostro caso, è l’insieme di definizione.

Le definizioni continuano a valere in un intervallo qualsiasi, sottoinsieme di A.

funzioni pari – funzioni dispari

Funzione pari

Def:

Sia f: A ® B

x ® y una funzione numerica.

Si dice che la funzione f è pari se:

" x Î A Þ f(x) = f(-x).

Nota.

Una funzione è pari se:

assume lo stesso valore in corrispondenza a valori opposti di ascisse

in un rappresentazione cartesiana è simmetrica rispetto all’asse delle

ordinate

Funzione dispari

Def:

Sia f: A ® B

x ® y una funzione numerica.

Si dice che la funzione f è dispari se:

" x Î A Þ f(-x) = - f(x).

Nota.

Una funzione è dispari se:

assume valore opposto in corrispondenza a valori opposti di ascisse

in un rappresentazione cartesiana è simmetrica rispetto all’origine O

degli assi

Nota.

Le simmetrie considerate in questo contesto sono:

- simmetrie rispetto all’asse delle y

- simmetrie rispetto origine coordinate.

FUNZIONI NUMERICHE: GRAFICI E CARATTERISTICHE.

Consideriamo ora alcune funzioni numeriche e di queste daremo:

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate di punti

rappresentazione grafica in un piano cartesiano ortogonale

studio delle caratteristiche:

i insieme di definizione

insieme immagine

classificazione:

suriettiva

iniettiva

biiettiva –funzione inversa

crescenza- decrescenza

positività-negatività

funzione pari-dispari

Esempio1

Sia data la funzione f : N ® N

x ® y = x ossia f(x) = x

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate di punti

x	y=x

0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6

rappresentazione grafica in un piano cartesiano ortogonale

studio delle caratteristiche:

insieme di definizione : tutto N

insieme immagine: tutto N

iniettiva: è iniettiva

Bisogna dimostrare che x₁ x₂N®f(x₁) f( x₂).

Dimostriamo per assurdo.

Essendo x₁ x₂ ipotizziamo che sia f(x₁) = f( x₂); si ottiene x₁ = x₂

ma ciò è in contraddizione con l’ipotesi iniziale.

da un punto di vista grafico:

nessun filo orizzontale incontra la funzione in più di un punto.

suriettiva: è suriettiva

bisogna dimostrare che y₀ N, almeno un x₀ N / f(x₀) = y₀ .

In questo caso poichè è y₀ = x₀ segue che

x₀ = y₀ è controimmagine di y₀ .

da un punto di vista grafico:

un qualsiasi filo orizzontale incontra il grafico in almeno un

punto.

biiettiva: è biiettiva

essendo sia iniettiva sia suriettiva è pure invertibile: f^--1(x) = x

positività-negatività: è non negativa

infatti x N ® f(x)0

da un punto di vista grafico:

il grafico della funzione non sta mai sotto l’asse delle ascisse

funzione pari-dispari: Non è né pari né dispari

x N; non ci sono le condizioni per applicare la definizione.

da un punto di vista grafico:

non vi è simmetria né rispetto all’asse delle y né rispetto all’origine

delle coordinate.

crescenza- decrescenza: E’ strettamente crescente

Bisogna dimostrare che x₁< x₂®f(x₁)<f( x₂)

Nel nostro caso f(x₁)= x₁ , f( x₂) = x₂, da cui la tesi

Esempio2

Sia f : Z ® Z

x ® y = x ossia f(x) = x

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate

x	y=x

-3	-3
-2	-2
-1	-1
0	0
1	1
2	2
3	3

rappresentazione grafica in un piano cartesiano ortogonale

studio delle caratteristiche:

insieme di definizione : tutto Z

insieme immagine: tutto Z

iniettiva: è iniettiva

Bisogna dimostrare che x₁ x₂Z®f(x₁) f( x₂).

Dimostriamo per assurdo.

Essendo x₁ x₂ ipotizziamo che sia f(x₁) = f( x₂) , si ottiene x₁ = x₂ ;

ma ciò è però in contraddizione con l’ipotesi iniziale.

da un punto di vista grafico:

nessun filo orizzontale incontra la funzione in più di un punto.

suriettiva: è suriettiva

bisogna dimostrare che y₀ Z, almeno un x₀ Z/ f(x₀) = y₀ .

In questo caso poichè è y₀ = x₀ segue che

x₀ = y₀ è controimmagine di y₀ .

da un punto di vista grafico:

un qualsiasi filo orizzontale incontra il grafico in almeno un punto.

biiettiva: è biiettiva

essendo sia iniettiva sia suriettiva è pure invertibile: f^--1(x) = x

positività-negatività: nè positiva, nè negativa

è positiva per x > o infatti x Z₀⁺ ® f(x) = x > 0

il grafico della funzione sta al di sopra dell’asse delle x

è non positiva per x <= 0 infatti x Z^-® f(x) = x 0

il grafico della funzione non sta mai sopra

all’asse delle ascisse.

funzione pari-dispari: é dispari

Bisogna dimostrare che f(-x) = -f(x);

in questo caso, risulta f(–x) = -x , -f(x)= -x.

da un punto di vista grafico:

il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’origine delle coordinate.

crescenza- decrescenza: E’ strettamente crescente

bisogna dimostrare che se x₁< x₂ allora f(x₁)< f(x₂);

nel nostro caso f(x₁) = x₁ e f(x₂)= x₂ da cui la tesi.

Esempio3

Sia f : Z ® Z

x ® y = ½x½ ossia f(x) = ½x½

Ricordiamo che½x½ esprime il valore assoluto di x e che questo è così definito:

x se x0

½x½ =

-x se x<0

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate

x	y=\|x\|

-3	3
-2	2
-1	1
0	0
1	1
2	2
3	3

rappresentazione grafica in un piano cartesiano ortogonale

studio delle caratteristiche:

insieme di definizione : tutto Z

insieme immagine: tutto N

iniettiva: non è iniettiva

Infatti x₁ x₂ Z con x₁= - x₂ ®f(x₁) = f( x₂).

da un punto di vista grafico:

c’è almeno un filo orizzontale che incontra il

grafico della funzione in più di un punto.

suriettiva: non è suriettiva

non vale che y₀ Z, almeno un x₀ Z / f(x₀) = y₀ .

In altre parole basta trovare un y₀ Z che non ha

controimmagini; nel nostro caso basta pensare a y₀ =-3.

da un punto di vista grafico:

ci sono fili orizzontali che non incontrano la funzione.

biiettiva: non è biiettiva ( facile )

positività-negatività: è non negativa

infatti x Z ® f(x)0 in base alla definizione di valore

assoluto

da un punto di vista grafico:

il grafico della funzione non sta mai sotto l’asse delle ascisse .

funzione pari-dispari: é pari

Bisogna dimostrare che f(-x) = f(x); in questo caso la condizione risulta verificata in base alla definizione di valore assoluto.

da un punto di vista grafico:

il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

crescenza- decrescenza: nè crescente, né decrescente

E’ strettamente crescente per x>= 0 se x₁< x₂ non negativi allora f(x₁)<f( x₂);

E’ strettamente decrescente per x<0 se x₁< x₂ negativi allora ½x₁½>½x₂½ .

Esempio4.

Sia f : R ® R

x ® y = 4 ovvero f(x) = 4

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate

x	y=4

-3	4
-2	4
-1	4
0	4
1	4
2	4
3	4

rappresentazione grafica in un piano cartesiano ortogonale

Nota.

Mentre negli esercizi precedenti il grafico era determinato da un insieme di punti

ben definiti,( punti che non vanno uniti con un tratto ‘continuo’), in questo caso il grafico risultante è individuato da un linea ‘continua’.

Ciò è dovuto al fatto che l’insieme di definizione è un insieme ‘continuo’.

In generale se l’insieme di definizione è ‘generalmente continuo’ allora il grafico risultante è ‘generalmente continuo’.

studio delle caratteristiche:

insieme di definizione : tutto R

insieme immagine: {4}

iniettiva: non è iniettiva

infatti " x₁ x₂®f(x₁) = f( x₂) = 4

da un punto di vista grafico:

c’è un filo orizzontale che incontra il grafico in più di un

punto ( infiniti ).

suriettiva: non è suriettiva

infatti l’insieme immagine è composto solo dall’elemento 4

mentre il secondo insieme è costituto da R ;

da un punto di vista grafico:

ci sono fili orizzontali senza nodi.

Infatti i punti che definiscono il grafico ammettono come

ordinata solo il valore 4.

biiettiva: non è biiettiva ( facile )

quindi non invertibile.

positività-negatività: è positiva

infatti x R® f(x)=4>0

si nota che il grafico della funzione è sempre sopra l’asse delle

ascisse

funzione pari-dispari: é pari

Infatti x R , f(-x) = 4 e f(x)=4;

dal grafico , si nota una simmetria rispetto all’asse delle y.

crescenza- decrescenza: questa funzione è sia crescente sia

decrescente in senso lato

Funzioni siffatte si dicono costanti.

Esempio5

Sia f : R ® R

x ® y = 2x ossia f(x) = 2x

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate

x	y=2x

-3	-6
-3/2	-3
-1	-2
0	0
1/2	1
2/3	4/3
3	6

rappresentazione grafica in un piano cartesiano ortogonale

studio delle caratteristiche:

insieme di definizione : tutto R

insieme immagine: tutto R

iniettiva: è iniettiva

cioè x₁ x₂R®f(x₁) f( x₂).

Dimostriamo per assurdo:

Essendox₁ x₂ ipotizziamo che sia f(x₁) = f( x₂); si avrà 2x₁ = 2x₂

da cui x₁= x₂,in contraddizione con l’ipotesi.

da un punto di vista grafico:

nessun filo orizzontale incontra la funzione in più di un punto.

suriettiva: è suriettiva

cioè y₀ R, almeno un x₀ R / f(x₀) = y₀ .

In questo caso poichè è y₀ = 2x₀ segue che

x₀ = y₀/2 è controimmagine di y₀ .

da un punto di vista grafico:

un qualsiasi filo orizzontale incontra il grafico in almeno un

punto.

biiettiva: biiettiva ( facile )

quindi è pure invertibile. La funzione inversa è f^--1(x) = x/2.

positività-negatività: nè positiva né negativa.

è positiva per x>0 infatti x R₀⁺ ® f(x)=x>0

il grafico sta al di sopra dell’asse delle ascisse

é non positiva per x<= 0 x R^-® f(x)= 0

il grafico non sta mai al di sopra dell’asse

delle ascisse

funzione pari-dispari: é dispari

Bisogna dimostrare che f(-x) = -f(x);

in questo caso, risulta f(–x) = -2x , -f(x)= -(2x).

da un punto di vista grafico:

il grafico è simmetrico rispetto all’origine delle coordinate.

crescenza- decrescenza: é crescente in senso stretto

se x₁<x₂ ® f(x₁)<f(x₂); infatti 2x₁< 2x₂ è sempre vera .

Esempio6

Sia f : R ® R

x ® y = 2x +1 ossia f(x) = 2x+1

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate

x	y=2x+1

-3	-5
-3/2	-2
-1	-1
-1/2	0
0	1
1/2	2
2/3	7/3
3	7

rappresentazione grafica in un piano cartesiano ortogonale

Nota.

Il grafico d i y=2x+1 rispetto a quello di y=2x è ‘spostato’ verso l’alto di una unità.

studio delle caratteristiche:

insieme di definizione : tutto R

insieme immagine: tutto R

iniettiva: è iniettiva

cioè x₁ x₂R®f(x₁) f( x₂).

Dimostriamo per assurdo:

Essendo x₁ x₂ipotizziamo che sia f(x₁) = f( x₂);

si avrà 2x₁+1= 2x₂+1 da cui x₁= x₂

in contraddizione con l’ipotesi iniziale.

da un punto di vista grafico:

nessun filo orizzontale incontra la funzione in più di un punto.

suriettiva: è suriettiva

cioè y₀ R, almeno un x₀ R / f(x₀) = y₀ .

In questo caso poichè è y₀ = 2x₀+1 segue che x₀ = (y₀-1)/2 è controimmagine di y₀ .

da un punto di vista grafico:

un qualsiasi filo orizzontale incontra il grafico in almeno un

punto.

biiettiva: biiettiva ( facile )

quindi è pure invertibile. La funzione inversa è f^--1(x) = (x –1)/2.

positività-negatività: nè positiva né negativa.

è positiva per x>-1/2 infatti x>1/2 ® f(x)=x>0

il grafico sta al di sopra dell’asse delle ascisse

é non positiva per x<= 0 x <=-1/2 ® f(x)= 0

il grafico non sta mai al di sopra dell’asse

delle ascisse

funzione pari-dispari: né pari nè dispari

Bisogna dimostrare che f(-x) f(x) e che f(-x) -f(x);

in questo caso, risulta f(–x) = -2x +1, f(x)= 2x+1;

-f(x)= -2x-1

Dal grafico non si nota alcuna simmetria.

crescenza- decrescenza: é crescente in senso stretto

se x₁<x₂ ® f(x₁)<f(x₂); infatti 2x₁+1< 2x₂+1 è sempre vera .

Esempio7

Sia f : R ® R

x ® y = x² ossia f(x) = x²

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate

x	y=x²

-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9

rappresentazione grafica in un piano cartesiano ortogonale

studio delle caratteristiche:

insieme di definizione : tutto R

insieme immagine: tutto R⁺

iniettiva: non è iniettiva

infatti se x₁ x₂ Ù x₁ = -x₂ ® f(x₁) = f(x₂)

[(x₁)² = (-x₁)²]

da un punto di vista grafico:

ci sono dei fili orizzontali che incontrano il grafico della

funzione in più di un punto.

suriettiva: non è suriettiva

bisogna dimostrare che non vale che

y₀ R, almeno un x₀ R / f(x₀) = y₀ .

In questo caso poichè è y₀ = (x₀)² segue che

x₀ = ;quindi x₀ esiste solo per y₀ 0.

da un punto di vista grafico:

ci sono fili orizzontali che non incontrano la funzione.

Nota.

La funzione può essere resa suriettiva se si considera come insieme di arrivo R⁺

positività-negatività: non è negativa.

infatti x R® f(x)=x² 0

il grafico della funzione non sta al di sotto dell’asse delle

ascisse

funzione pari-dispari: pari

Bisogna dimostrare che f(-x) = f(x);

in questo caso, risulta f(–x) = (-x)² = x², f(x)= x²;

Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

crescenza- decrescenza: nè crescente né decrescente

è strettamente crescente per x>=0

Da 0 x₁< x₂ si avrà f(x₁)<f( x₂ )

Infatti se per assurdo fosse x ₁²> x ₂² si otterrebbe x ₁²- x ₂²> 0

e cioè

(x ₁- x ₂ ) (x ₁+ x ₂ )>0; ora dal momento che

(x ₁+ x ₂ ) >0 segue che x ₁- x ₂ >0 e cioè x ₁> x ₂ contro

l’ipotesi.

è strettamente decrescente per x <= 0

Dimostrarlo per esercizio.

Esempio8

Sia f : R⁺ ® R⁺

x ® y = x² ossia f(x) = x²

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate

x	y=x²

0	0
1	1
2	4
3	9

rappresentazione grafica in un piano cartesiano ortogonale

studio delle caratteristiche:

insieme di definizione : R⁺

insieme immagine: R⁺

iniettiva: è iniettiva

infatti se x₁ x₂ Ù x₁® f(x₁) ≠ f(x₂)

da un punto di vista grafico:

i fili orizzontali incontrano il grafico della

funzione in un punto.

suriettiva: è suriettiva

bisogna dimostrare che

y₀ R, almeno un x₀ R / f(x₀) = y₀ .

In questo caso poichè è y₀ = (x₀)² segue che

x₀ = +;quindi x₀ esiste per y₀ 0.

da un punto di vista grafico:

i fili orizzontali incontrano tutti la funzione.

Nota.

La funzione è biiettiva e quindi invertibile!

positività-negatività: non è negativa.

infatti x R⁺® f(x)=x² 0

il grafico della funzione non sta al di sotto dell’asse delle

ascisse

funzione pari-dispari: né pari né dispari

crescenza- decrescenza: crescente

è strettamente crescente per x>=0

Da 0 x₁< x₂ si avrà f(x₁)<f( x₂ )

Infatti se per assurdo fosse x ₁²> x ₂² si otterrebbe x ₁²- x ₂²> 0

e cioè

(x ₁- x ₂ ) (x ₁+ x ₂ )>0; ora dal momento che

(x ₁+ x ₂ ) >0 segue che x ₁- x ₂ >0 e cioè x ₁> x ₂ contro

l’ipotesi.

Esempio9.

Sia f : R⁺ ® R⁺

x ® y = √ x

Abbiamo visto che

f : R⁺ ® R⁺

x ® y = x² è biiettiva.

Di conseguenza si può definire la funzione inversa

f^-1 : R⁺ ® R⁺

y ® √y = x

insieme di arrivo insieme di partenza

per la funzione f per la funzione f

Ma normalmente la variabile indipendente viene indicata con x e quella indipendente con y

Seguendo quindi questa consuetudine, la funzione f^-1 viene definita nel seguente modo:

f^-1 : R⁺ ® R⁺

x ® √x = y

Il grafico che ne risulta dopo questo scambio di variabili( x→y e y→ x) risulta essere il simmetrico del grafico della funzione f rispetto alla retta y=x ( E questo vale in generale)

Esempio10.

Sia f : R ® R

x ® y = x² –1 ossia f(x) = x² –1

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate

x	y=x²-1

-3	8
-2	3
-1	0
0	-1
1	0
2	3
3	8

rappresentazione grafica in un piano cartesiano ortogonale

studio delle caratteristiche:

insieme di definizione : tutto R

insieme immagine: C= íy R /y >= 1ý

iniettiva: non è iniettiva

infatti se x₁ x₂ Ù x₁ = -x₂ ® f(x₁) = f(x₂)

[(x₁)² -1= (-x₂)²-1]

da un punto di vista grafico:

ci sono dei fili orizzontali che incontrano il grafico della

funzione in più di un punto.

suriettiva: non è suriettiva

bisogna dimostrare che non vale che

y₀ R, almeno un x₀ R / f(x₀) = y₀ .

In questo caso poichè è y₀ = (x₀)²-1 segue che

x₀ = +1; quindi x₀ esiste solo per y₀ -1.

da un punto di vista grafico:

ci sono fili orizzontali che non incontrano il grafico della

funzione.

Nota.

La funzione può essere resa suriettiva se si considera come insieme di arrivo C

positività-negatività: non è né negativa né positiva.

é negativa per –1<x<1

infatti x² -1 <0 per –1<x<1.

I punti del grafico della funzione che stanno al di

sotto dell’asse delle x hanno ascissa compresa fra –1 e 1.

é non negativa per x <= -1 o x >=1

Dimostrarlo per esercizio!

funzione pari-dispari: pari

Bisogna dimostrare che f(-x) = f(x);

in questo caso, risulta f(–x) = (-x)² -1= x²-1, f(x)= x²-1;

Il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’asse delle

ordinate.

crescenza- decrescenza: nè crescente né decrescente

è strettamente crescente per x>=0 infatti se 0x₁< x₂ ® f(x₁)<f(x₂);

Nel nostro caso, se 0 x₁< x₂ allora x₁²-1< x ₂² –1.

( la dimostrazione è analoga a quella dell’esempio precedente)

è strettamente decrescente per x <= 0 Dimostrarlo per esercizio.

Esempio11.

Sia f : R ® R

x ® y = x³ ossia f(x) = x³

rappresentazione mediante tabella di alcune coppie ordinate

x	y=x²-1

-3	-27
-2	-8
-1	1
0	0
1	1
2	8